双曲線壁の向こうの焦点(No.130)

どうしてなのかな

No.99ではだ円で、No.113では放物線の焦点に向かうクッションボールで遊びましたね。だ円も放物線も、そして今回の双曲線も、No.99で説明した円すい曲線です。だ円の一方の焦点からはじいたビー玉は、壁にぶつかってからもう一方の焦点に向かいましたね。双曲線では、もう一方の焦点は壁の向こう側にあります。この双曲線の焦点にはどんな性質があるのでしょう。今回はクッションボールではなく、水面を伝わる波で双曲線やその焦点の性質を見ることにしましょう。

そうかなるほど

だ円はふたつの点（焦点）からの距離の「和」が一定になる点の集まりでしたが、双曲線はふたつの点（焦点）からの距離の「差」が一定になる点の集まりです。池に小石を投げ込むと、波紋が同心円になって広がりますね。ふたつの小石を少し離れたところに同時に投げ込むとどうなるでしょう？ それぞれの波が重なって、強めあったり弱めあったり（干渉）して複雑な波紋になります。ある場所での波の重なり方がどうなるかは、ふたつの小石が落ちた場所（波源＝焦点）からの距離の差によって決まります。このため、波が強めあう点や打ち消しあう点は、ふたつの波源からの距離の差が一定となる点をつないでできる線、つまり双曲線に沿って並ぶことになります。また、双曲線の焦点には、一方の焦点から出た光が双曲線の鏡で反射されると、もう一方の焦点から直進してきた光のように見えるという性質、つまり、点光源の虚像をつくるという性質があります。これも実験で確かめてみましょう。今回の実験装置では、双曲線の焦点の性質だけでなく、だ円や放物線の焦点の性質を確かめたり、波の反射や回折などの様子を見たりできます。ところで、日の出から日没までに日時計の影の先端が描く線も双曲線になるんですよ。